Wyobraźmy sobie...

...jest chłodny marcowy wieczór w Petersburgu, czas - powiedzmy - koniec osiemnastego wieku. Pewien hazardzista postanowił, jak codzień, iść do kasyna. W kasynie krupier zaproponował mu następującą grę: mianowicei krpuier będzie rzucał monetą, idealnie symetrzyczną - i w zależności od tego, co wyrzuci - wypłaci graczowi nagrodę. Jeśli, dajmy na to, wypadnie awers - gracz otrzyma rubla. Jesli zaś wypadnie rewers - stawka zostanie podowjona i krupier drugi raz rzuci monetą. Jeśli za drugim razem wypadnie awers, wypłaci się graczowi tą nową stawkę, czyli dwa ruble. A jeśli rewers - stawka ponownie zostanie podowojona itd. aż do skutku.

Gra się hazardziście spodobała na tyle, że postanowił do niej przystąpić. Pozostał jeden problem - wysokość wpisowego. Bo wiadomo, że kasyno musi zarobić, więc istnieje jakieś wpisowe. I teraz pytanie - jakie to powinno być wpisowe, żeby gra mogła być uznana za sprawiedliwą?

Pierwsze, co przychodzi do głowy - to wpisowe w wysokości średniej wygranej. Oznaczałoby to, że gracz "średnio" wypadnie na zero. Jakoś odpowiada to naszemu pojęciu sprawiedliwości... Tylko... Właśnie, jak z tą srednią? Wygrana gracza z prawdopodbieństwem 1/2 wynosi 1 rubel, bo takie jest prawdopodbieństwo wyrzucenia awersu. Z prawdopodbieństwem 1/2 gra toczy się o większą stawkę, przy tym z prawdopodbieństwem 1/2 z tej 1/2 (czyli z łącznym prawdopodbieństwem 1/4) wygrana wyniesie 2 ruble. Podobnie - z prawdopodobieństwem 1/8 wygrana wyniesie 4 ruble, z prawdopodobieństwem 1/16 - 8 rubli i tak dalej. Jak to wszystko posumować - wychodzi nam 1/2+2*1/4+4*1/8+... czyli nieskończona suma połówek (połówek rubla, a nie połówek litra - bez skojarzeń...;-) ). A zatem nieskończoność. Średnia wygrana hazardzisty jest równa nieskończoności co oznacza, że w myśl tej zasady, ile by mu nie kazano zapłacić za udział w tej grze - i tak jest ona korzystna dla niego.

A to numer!

Postaw się, Drogi Czytelniku, w roli tego hazardzisty. Czy zapłaciłbyś za udział w tej grze, powiedzmy, 5 rubli? Pewnie wielu się na to zgodzi. A 50? To juz gorzej... A 500? A 5000? Nie powinno być bólu - gra wciąż jest dla nas korzystna, w myśl przyjętej zasady. Ale z intuicyjnym rozumieniem "korzystności" wyraźnie się to kłóci. Coś tu musi nie grać...

To może zamiast średniej - weźmy taką wartość, że jednakowo prawdopodobne jest, że gracz wygra więcej, jak i to, że wygra mniej. Wielkość taką nazywa się medianą. W naszym przypadku medianą jest np. 1.5 rubla. Prawdopodobeństwo, że gracz wygra mniej niż 1.5 rubla, konkretnie - 1 rubel - wynosi 1/2. Że wygra więcej - też 1/2. Więc to mogłaby być uczciwa stawka. Ale postaw się teraz, drogi Czytelniku, w sytuacji krupiera. Zgodziłbyś się podjąć grę z wpisowym 1.5 rubla? Przyjdzie do Ciebie wielu graczy, każdy wpłaci te 1.5 rubla i każdy wygra (średnio rzecz biorąc) nieskończenie wiele pieniędzy. Kiepski biznes...

...to jaka jest w końcu uczciwa stawka?

I tu dochodzimy do sedna sprawy. Otóż większość z nas, ludzi - znajduje się pod wpływem propagandy rozkładu Gaussa. Nawet, jeśli drogi Czytelniku, nie wiesz, co to jest rozkład Gaussa - i tak w niego wierzysz. Rozkład Gaussa daje nam mniej-więcej następujące wyobrażenie rzeczywistości - jest jakaś wartość średnia czegoś (np. rednia masa jabłka, średni czas spędzany przez pracownika w pracy...) i my możemy się spodziewać, że dowowlna wartość tej wielkości leży w pobliżu tej średniej. A dalje - to tylko bardzo mało prawdopodbne sytuacje, jak trafienie szóstki w totolotka, na które nie można liczyć. Jeśli średnia masa jabłka wynosi, powiedzmy, 200g, jeśli jabłek o masie 300g jest, powiedzmy, dziesięć razy mnoje niż tych o masie 200g - to jabłek o masie 450g już się nie spodziewamy znaleźć. Może jedno na kilka lat gdzieś tam komus urośnie... A więc mamy skalę. Zdecydowana większość jabłek ma masy od, dajmy na to, 150g do tych 300g, a jabłka zarówno większe, jak i mniejsze - są znacznie rzadsze.

Tymczasem rozkład wygranej gracza, o którym mówiliśmy powyżej - takiej skali nie ma. Zawsze prawdopodbieństwo wygrania dwa razy większej kwoty jest dokładnie dwa razy mniejsze. Nie ma takiej wartości, o której można powiedzieć: na mniejszą wygraną jeszcze jest sens liczyć, a na większą - już nie. Wszystko zmienia się płynnie - i bezskalowo.

Zagadnienie to, zwane paradkosem petrsburskim, wymyślił Bernoulli - własnie w Petersburgu - pod koniec osiemnastego wieku. I ponad sto lat matematycy nie wiedzieli, co tu nie gra. Dopiero na początku XX wieku francuski matematyk Paul Levy zaczął badać takie rozkłady, jak rozkład wygranej gracza - i do dziś noszą one jego nazwisko. Zwane są też niekiedy rozkładami potęgowymi (wiadomo czemu) lub rozkąłdami o tłustych ogonach (kto sobie wykreśli prawdopodbieństwo potęgowe i prawdopodbieństwo dane rozkąłdem Gaussa na jednym wykresie - zobaczy, czemu). I charakteryzuje je właśnie brak skali.

Jak się okazuje - w ekonomii właśnie takie rozkłady dominują. Bo rynek finansowy to miejsce, gdzie spotykają się zarówno rekiny finansjery, multimiliarderowie, jak i drobni ciułacze, którzy chcą dorobić nieco do swej urzędniczej pensji. I wszyscy moga tak samo kupować i sprzedawać akcje przedsiębiorstw, kontrakty na te akcje czy obligacje. Z tą tylko różnića, że taki drobny inwestor kupić może pięć akcji, a taki magnat naftowy - choćby i pięćdziesiąt tysięcy. Ale tak jedne, jak i drugi jednakowo obawia się utraty 90% swojego kapitału oraz ma nadzieję na jego podwojenie - choć w obu przypadkach chodzi o zupełnie inne kwoty. Podobieństwo procesów zachodzących w drobnej i grubej skali pwooduje zatarcie tej skali...

Aby przekonać się, do czego prowadzi życie bez skali - nie trzeba jednak wcale jechać do petersburskiego kasyna. Wystarczy zobaczyć, co u nas się dzieje na ulicach, zwłaszcza przed wyborami - acz nie tylko. Otóż wychodzą na ulicę - a to górnicy, a to hutnicy, a to pielęgniarki,a to lekarze - i wszyscy chcą zarabiać więcej. Wszyscy porównują się z ową średnią i chcieliby mieć, a to dwie średnie, a to półtora średniej... Cóż - ludzie ci zwyczajnie nie rozumieją bezskalowości rozkładów potęgowych (górnikom to jeszcze można wybaczyć, ale lekarze - elementarną wiedzę matematyczną powinni chyba jednak mieć...). Próbują się dopasowac do charakterystycznej skali zjawiska, które tej skali nie ma. Ściśle rzecz ujmując - ilość ludzinp. w Polsce nie jest nieskończona, jest zatem ktoś najbogatszy - i jego zarobki jakoś tam skalę definiują. Jednakże średnia obliczona w oparciu o tak zdefiniowaną skalę, mimo że nie jest nieskończona, jak to było w przypadku gracza z Petersburga - jest baaardzo duża, windowana w górę przez tych kilku miliarderów. I nie można dać wszystkim lekarzom podwyżki, która ich pobory przerzuciłaby powyżej tej skali. wtedy bowiem oni poszliby ze swoimi pieniędzmi do sklepów, zwiększając popyt, więc sprzedawcy mogliby podnieść ceny - więc i sprzedawcy zaczęliby zarabiać więcej. Producenci mogliby im drożej sprzedawać swoje wyroby  -i tez by zarabiali więcej. Czyli wszystko by się przesunęło do góry... A więc, jedno co mozna tą drogą uzyskać - to inflacja. A średnia i tak będzie bardzo wysoko, i mało kto będzie miał zarobki powyżej sredniej. Bo taka jest uroda tych rozkładów o tłustych ogonach - że to te "ogony", te zjawiska rzadkie, jak ktoś zarabiający 100 tysiecy miesięcznie - wpływają na statystykę...

Przez miejsce, w którym zyję, przechodzi jakiś równoleżnik. Przez miejsce, w którym Ty, Drogi Czytelniku, siedzisz i czytasz to, co ja tu wysmażam - też przechodzi równoleżnik. I teraz wyobraź sobie, że na Twoim równoleżniku znajduje się napewno para punktów położonych dokładnie na przeciwko siebie, i takich, że temperatura w tych dwóch punktach jest równa.

Trudno uwierzyć...

A jednak. Zacznijmy od tego, że temperatura jako funkcja drogi jest funkcją ciągłą. Mówiąc w skrócie - oznacza to, że nigdzie nie ma takiego punktu, że temperatura skacze nam np. o 10⁰C. Gdyby taki punkt był, zaraz cyrkulacja powietrza zamieniłaby ten skok w gładkie, łagodne przejście.

Jeśli więc będę mierzył drogę wzdłuż równoleżnika, poczynając od pewnego punktu P (powiedzmy - od tego, w którym Ty siedzisz), oznaczając ją przez x - to funkcja T(x) jest ciągła. Ciągła jest także funkcja:

  T(x+l/2) , gdzie l - długość obwodu równoleżnika.

To w końcu ta sama funkcja, tylko liczona od innego punktu. Różnica tych dwóch funkcji też musi być ciągła, bo jak odejmujemy od siebie dwie funkcje ciągłe - to na pewno nie pojawi nam się żaden "ząbek". Czyli ciągła jest funkcja:

F(x)=T(x+l/2)-T(x)

Dla x=0 otrzymamy F(0)=T(l/2)-T(0), a dla x=l/2: F(l/2)=T(l)-T(l/2). Jednak po przejściu pełnego obwodu równoleżnika l znaleźliśmy się przecież w tym samym punkcie, bo koło jest okrągłe ;-) a przede wszystkim zamknięte. Więc T(l)=T(0). Stąd morał, że:

F(l/2)=T(0)-T(l/2)=-[T(l/2)-T(0)]=-F(0)

Jeśli zatem F(0) jest dodatnie, to F(l/2) jest ujemne. I vice versa. A skoro F jest ciągła, to gdzieś po drodze musi być taki punkt x*, że:

F(x*)=0,

to znaczy T(x*+l/2)=T(x*). Czyli istnieją dwa punkty, leżące dokładnie na przeciwko siebie, w których temperatura jest identyczna...

Zaskakujące...

Niewielka modyfikacja tego rozumowania pozwala stwierdzić, że jeśli rozważamy cała kulę ziemską - to istnieje w każdej chwili para takich dwóch punktów położonych dokładnie antypodalnie, w których to punktach zarówno temperatura, jak i ciśnienie przyjmują te same wartości.

Jest to przypadek szczególny twierdzenia, znanego matematykom jako twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach. Karol Borsuk oraz Stanisław Ulam to dwaj wybitni polscy matematycy (tak, w tej dziedzinie mamy się czym pochwalić, jak w rzadko której; a tak mało rodaków zdaje sobie z tego sprawę). Pierwszy był jednym z głównych twórców tzw. warszawskiej szkoły matematycznej, a drugi - współtwórcą m.in. amerykańskiej bomby atomowej.

Tak całkiem na marginesie: ciekaw jestem, ilu geografów i klimatologów słyszało o twierdzeniu Borsuka-Ulama o antypodach. A ilu, słysząc je po raz pierwszy, nie ma ochoty gwałtownie zaprotestować...

W dobie, gdy komputery robią za nas coraz więcej rzeczy - miło pomysleć, że są jeszcze takie obszary, w których liczy się nie brutalna siła obliczeniowa komputera, lecz finezyjne pomysły, na które stać tylko nas.

Przykładem takiego zagadnienia jest równanie Pella. Ma ono postać:

x²-Ny²=1

gdzie N, x oraz y są liczbami naturalnymi.

Tak na marginesie - to nie żaden Pell, ale Pierre Fermat wymyślił to równanie. Jednak Euler kiedyś tam się pomylił i przypisał je Pellowi, a że wielki Leonhard E. był już autorytetem, z którym nikt nie śmiał dyskutować - tak zostało.

Równanie to, jak część Czytelników poznaje - jest, gdyby dopuścić wszystkie liczby rzeczywiste, równaniem hiperboli i jako takie ma nieskończenie wiele rozwiązań (x,y). Komputer bez trudu wykreśli zbiór tych rozwiązań. Ale my chcemy znaleźć rozwiązania w zbiorze liczb naturalnych - czy są takie?

Okazuje się, że jeśli tylko N nie jest kwadratem liczby naturalnej - rozwiązania są i jest ich nieskończenie wiele. Szukamy zatem najmniejszego. I tu właśnie komputer wiele nam nie pomoże. Z tej prostej przyczyny, że komputer nie odróżnia liczb całkowitych od niecałkowitych. A liczby niewymierne w ogóle dla niego nie istnieją. Wszystko zaokrągla do tylu cyfr, ile się zmieści - i już.

A my mamy pomysł.

Weźmy liczbę  √N. Zgodnie z umową - N nie jest niczyim kwadratem, więc nasza liczba jest niewymierna, a to zanczy, ze ma część całkowitą i ułamkową. Zapiszmy część całkowitą, a z części ułamkowej weźmy odwrotność, czyli postawmy ją "na głowie". Taka odwrócona część ułamkowa jest znów większa od jedności, więc zapisujemy część całkowitą, a to co zostanie - ponownie odwracamy. I tak dalej... Okazuje się, że po pewnym czasie liczby zaczną nam się powtarzać (nie licząc tej całkiem pierwszej). Coś, jak okres w przypadku ułamków dziesiętnych okresowych. Załózmy, ze ten okres ma długość m. To zaczynając od drugiej cyfry naszego dziwnego rozwinięcia odliczamy m-1 liczb, gdy m jest parzysta lub 2m-1, gdy nieparzysta. To co jest dalej - odrzucamy, a to co nam zostało - zwijamy z powrotem. To znaczy: ostatnią liczbę odwracamy, dodajemy do przedostatniej, wynik znowu odwracamy - i tak dalej, aż dojdziemy do pierwszej liczby, którą dodajemy do całej reszty. Otrzymaliśmy jakiś ułamek.

Więc licznik i mianownik tego ułamka to automatycznie najmniejsze liczby x i y, które spełniają nasze równanie (to znaczy - nie nasze, tylko Pella, a właściwie to Fermata).

Zamotane? Pokażę na przykładzie, jak to działa. Powiedzmy - jest równanie:

x²-7y²=1

√7=2.64575...=2+0.64575...

1/0.64575...=1.54858...=1+0.54858...

1/0.54858...=1.82287=1+0.82287...

1/0.82287...=1.21525=1+0.21525...

1/0.21525...=4.64575...=4+0.64575...

1/0.64575...=1.54858...

A taka liczba już nam się pojawiła w drugim wierszu - więc dalej wszystko sie będzie powtarzać. Jednym słowem - rozwiniecie naszej liczby wygląda (wypisując kolejno liczby pogrubione):

√7=[2, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4,...]

i tak w kółko. "Okres" tego roziwnięcia wynosi 4, czyli liczba parzysta. Zatem od drugiej liczby naszego rozwinięcia (pogrubiona) odliczamy m-1=3 liczby i kończymy na podkreślonej. Mamy ciąg:

[2, 1, 1, 1]

Teraz odwracamy go, idąc od tyłu (pogrubiam liczby, które po kolei bierzemy z ciągu; przypominam - idziemy od końca):

1/1=1

1+1=2

1/2=1/2

1+1/2=3/2

1/(3/2)=2/3

2+2/3=8/3

Dostaliśmy 8/3, a więc x=8, y=3. I tak właśnie ma być: 8²-7*3²=1.

Chyba nie ma wątpliwości - komputer raczej by tego nie znalazł, przeglądając kolejne pary x, y. Chyba, żebyśmy mu powiedzieli, jak ma szukać...

A tak całkiem na marginesie - rozwiniecie, z którego korzystaliśmy - nosi nazwę ułamka łańcuchowego.

Liczby pierwsze - a więc takie, które mają dwa dzielniki: 1 i samą siebie - i nic więcej. To wiadomo ze szkoły. Wiadomo też, że jest ich nieskończenie wiele. Jeśli ktoś nie pamięta - przypomnę piorunem: klasyczny dowód jest dowodem nie wprost. Załózmy, ze jest skończona ilość liczb pierwszych: p₁, p₂, ... aż do p_n. Tworzymy liczbę M = p₁p_2...p_n+1. Taka liczba jest oczywiście podzielan przez 1, przez samą siebie i... i przez co jeszcze? Przez p₁ nie, bo daje resztę 1. Tak samo nie przez p₂. W ogóle przez nic. Więc też powinna być liczbą pierwszą. A przecież mielismy już wszystkie liczby pierwsze wypisane. Czyli, jak to niektórzy mówią - skucha. A matematycy mówią: sprzeczność kończy dowód.

Tych liczb pierwszych jest zatem nieskończenie wiele. To zaś motywuje ludzi do poszukiwania coraz to większych. Poza tym, że odzywa się tu w poszukiwaczach duch niemal sportowej rywalizacji - duże liczby pierwsze są nam potrzebne. Do czego - o tym pod koniec notki. Na razie parę słów o ich szukaniu.

Pierwszy szukał liczb pierwszych niejaki Erastotenes ze swoim sitem. Sprawa jest dość znana: zaczynamy do dwójki, wykreślamy wszystkie liczpodzielen przez dwa, ale dwójka zostaje. Potem bierzemy trójkę - i to samo. Czwórki już nie ma, to przechodzimy do piątki... i tak dalej. Proste - ale naprawdę dużej liczby pierwszej to się tak nie znajdzie.

Okazuje się, że łatwo jest znajdować liczby pierwsze wśród liczb pewnej szczególnej postaci - mianowicie wśród liczb Mersenne'a. Ów Mersenne, siedemnastowieczny filozof i matematyk, zainteresował się liczbami postaci:

M_p = 2^p-1

gdzie p jest liczbą pierwszą. Sprawdźmy: pierwsza z liczb Mersenne'a to 2²-1=3, a więc liczba pierwsza Dalej mamy 2³-1=7, 2⁵-1=31, 2⁷-1=127 - wszystkie są liczbami pierwszymi. ale już 2¹¹-1=2047=23*89 - jest już złożona, jak widać. Za pięknie by było na świecie, gdyby wszystkie liczby Mersenne'a były pierwsze.

Jednak dla liczb Mersenne'a istnieje parę efektywnych algorytmów sprawdzania, czy są pierwsze. Dlatego też już od roku 1876, kiedy to niejaki Lucas wykazał pierwszość liczby 2¹²⁷-1 (pojawiają się naprawdę duże liczby... a to dopiero początek) - największa znana liczba pierwsza jest zawsze liczbą Mersenne'a - za wyjątkiem krótkiego okresu drugiej połowy roku 1951. Wtedy też mniej-więcej do poszukiwania dużych liczb pierwszych zaprzęgnięto komputery. Jeśli chodzi o ręczne poszukiwania - to w roku 1952 Ferrier wykazał (za pomocą mechanicznego kalkulatora), że liczba (2¹⁴⁸+1)/17, licząca 44 cyfry, jest pierwsza - i jest to największa liczba pierwsza, którą znaleziono ręcznie.

Na początku lat 90. wystartował potężny projekt GIMPS (Great Intenet Marsenne Prime Search), w ramach którego znajduje się coraz to większe liczby pierwsze. Projekt jest zaiste potężny - wykorzystuje ponad 70 tysięcy komputerów o budzącej respekt łącznej szybkości rzędu 23 bilionów operacji zmiennoprzecinkowych na sekundę (tzn. przez sekundę te wszystkie komputery wykonuja tyle działań, ile Twój komputer, Drogi Czytelniku, nie wykonałby przez sto lat...). Jak dotąd największą znaną jest 44. liczba pierwsza Marsenne'a (a więc w sumie nie jest ich aż tak dużo...), postaci 2^32582657-1, została znaleziona 4 września 2006 roku. Wygląda ona dość niepozornie, jednak aby lepiej ją sobie wyobrazić przytoczę parę faktów na jej temat: liczy 9808358 cyfr w zapisie dziesiętnym - można ją obejrzeć np. pod adresem: http://www.mersenneforum.org/txt/44.txt. Plik tekstowy, w którym jest ona zapisana w systemie dziesiętnym zajmuje ponad 9MB; gdyby ją zapisać binarnie, "wystarczyłoby" około 3,9MB (liczba bitów przypadających na tę liczbę to oczywiście jej wykładnik zmniejszony o jeden). Zakłądajac, ze człowiek potrafi zapisać cztery cyfry w ciągu sekundy, do zapisania tej liczby (w systemie dziesiętnym) potrzebowałby 28 dni, 28 nocy i jeszcze siedmiu godzin z małym hakiem ciągłego pisania ;-) Łaaaadna liczba...

No, a po co nam te duże liczby pierwsze? Wykorzystuje się je do róznych celów, ale przede wszystkim - do szyfrowania. Powszechnie stosowany np. w systemach bankowych system szyfrowania RSA opiera się na liczbach pierwszych właśnie. Ma on, jak pewnie cześć Czytelników wie, klucz jawny, którym jest duża liczba stanowiąca iloczyn dwóch dużych liczb pierwszych. Gdyby teraz znalazł się ktoś, kto umie rozłożyć tę liczbę na czynniki pierwsze - to bepieczeństwo naszego konta bankowego biorą diabli...

Na szczęście - taki rozkład jest bardzo trudnym zadaniem. Jeśli te liczby pierwsze są dosyć duże...

Dla zainteresowanych: oficjalna strona programu GIMPS - http://www.mersenne.org/

Każdy, kto ma pomyślnie podstawówkę za sobą wie, ze liczb naturalnych jest nieskończenie wiele. I całkowitych - też. I wymiernych (to te, co można zapisać jako ułamki) - też. I rzeczywistych - tak samo. Czy jednak jest to ta sama nieskończoność, czy kilka róznych nieskończoności?

Wydaje się, ze liczb całkowitych jest więcej, niż naturalnych - bo to dochodzą jeszcze ujemne. Dwa razy więcej. Ale... jeśli mamy dwa zbiory, i możemy każdemu lelemntowi jednego zbioru przyporządkować po jednym lelemncie drugiego zbioru tak, aby zaden nie został sam - to są przecież równoliczne. No wyobraźmy sobie zbiór psów i zbiór kotów. Wybieram jednego psa, jednego kota - i pozwalamy im iść, żeby żyły ze sobą (jak pies z kotem...). Potem robimy to samo - tak długo, aż skończą się psy. Jeśli w tym samym momencie nie będzie już kotów - to znaczy, że było tyle samo psów co kotów. I basta!

To weźmy liczbę 0 i przyporządkujmy jej jedynkę. Potem weźmy jedynkę i jej przyporządkujemy dwójkę. Liczbie -1 przyporządkujemy trójkę. I tak to idzie - zbieramy w pary liczby całkowite z naturalnymi. Mamy już (0, 1), (1, 2), (-1, 3), dalej będzie (2, 4), (-2, 5), (3, 6), (-3, 7)... i tak dalej. Widać, że każdej liczbie całkowitej można przyporządkować liczbę naturalną (wiadomo jak to zrobić) i żadna nie zostanie bez pary. Wiec liczb całkowitych i naturalnych jest tyle samo.

A to numer!

A liczby wymierne? No, tych to pewnie jest więcej. W końcu każda liczba wymierna ma całkowity licznik i całkowity mianownik, więc jest ich jakby... do kwadratu więcej... Ale to tylko złudzenie - te liczby też możemy ustawić w kolejkę (co jest równoważne przyporządkowaniu liczb naturalnych. Zacznijmy od doatnichliczb wymiernych - to będzie tak:

1/1 -----------> 1

1/2 -----------> 2

2/1 -----------> 3

1/3 -----------> 4

2/2 -----------> 5

3/1 -----------> 6

1/4 -----------> 7

i tak dalej. Każdy widzi ideę? No po prostu - najpierw bierzemy takie liczby, że suma ich licznika i mianownika jest równa dwa. To jest jedna taka liczba: 1/1. Potem, że trzy - to już mamy dwie takie liczby. Potem, że cztery. I tak dalej. Każdej dodatniej liczbie wymiernej przyporządkujemy liczbę naturalną, wiadomo, jaką. Np. liczbie 12/23 trzeba przyporządkować liczbę 573. Czytelnik oczywiście wie, jak to szybko sprawdzić? No, ja mam nadzieję - Gauss miał siedem lat i już wiedział, jak liczyć takie sumy, czym zresztą wprawiał w zdumienie swoich nauczycieli...

Ale o Gaussie - to będzie inną razą, jak mawiał ktoś tam w "Wabanku".

Wracając do liczb wymiernych - tych dodatnich jest tyle, co liczb naturalnych. A wszystkich w ogóle - ile jest? Tyle samo, bo też je możemy ustawić w kolejkę i ponumerować. Wystarczy po każdej liczbie dodatniej wstawić jej ujemnego bliźniaka. A zero na sam początek, na honorowe miejsce, co by  mu jakoś wynagrodzić, że ono takie samotne  ;-( . I mamy kolejkę jak trzeba.

A liczby rzeczywiste? No, tutaj już niejeden z Czytelników powie - nie dam się nabrać, ich jest też tyle samo, co naturalnych, całkowitych i wymiernych. Czyli też je można ustawić w kolejkę. No, to spróbuj przez chwilę, drogi Czytelniku, zanim przejdziesz do dalszej części...

I co - udało się? Nie chciało? Dobra, nie trudź się więcej - to się nie uda. Skąd wiadomo? Ano:

Wyobraźmy sobie na razie liczby rzeczywiste z przedziału [0, 1). Każda ta liczba wygląda tak: 0-przecinek-i nieskończone rozwinięcie dziesiętne. No, niektóre mają rozwinięcie skończone - ale tym dopisujemy zera na końcu - aż do nieskończoności. I teraz wyobraźmy sobie, że jest taka kolejka, w której stoją wszystkie te liczby rzeczywiste. Np. jakaś taka:

1 -------> 0.2837465...

2 -------> 0.1982736...

3 -------> 0.2300578...

4 -------> 0.0040983...

5 -------> 0.9908745...

6 -------> 0.7777777...

...

Mniejsza o regułę, godnie z którą budowano tę kolejkę. A teraz zbudujmy sobie taką liczbę: bierzemy 0, przecinek, a potem cyfry w sposób następujący: pierwsza cyfra pierwszej liczby w kolejce, ale powiększona o jeden, czyli 3. Dalej - druga cyfra drugiej liczby, też powiększona o jeden, czyli 9+1, czyli - no, umówmy się, ze zero. Potem trzecia cyfra trzeciej liczby, też o jeden większa, a więc 1. I tym sposobem mamy liczbę:

0.301188...

Czy ta liczba stoi w naszej kolejce? Musi stać, bo umówiliśmy się, ze kolejka zawiera wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału [0,1). To na którym miejscu? Na pierwszym nie, bo na pewno od pierwszej liczby różni się pierwszą cyfrą po przecinku. Tak żeśmy ją skonstruowali, ze się różni. Może innymi cyframi też, ale pierwszą - to zawsze. Na drugim - też nie stoi, bo różni się drugą cyfrą. Na trzecim... - no, też nie. W ogóle nie ma takiej liczby w naszej kolejce. A miały być wszystkie...

Czyli doszliśmy do sprzeczności. Wykazanie, że jakaś hipoteza prowadzi do sprzeczności i na tej podstawie odrzucenie hipotezy - to bardzo często spotykany matematyczny trick. Powyższy dowód pochodzi od twórcy teorii mnogości, Georga Cantora, i nosi czasem nazwę metody przekątniowej (gdyż to przekątna odgrywa tu kluczową rolę).

Więc liczb rzeczywistych jest jednak więcej, niż naturalnych. Matematycy mówią, że zbiór liczb rzeczywistych ma większą moc, niż zbiór liczb naturalnych. Moc - to coś, jak liczba elementów zbioru, ale trochę rozszerzona, zeby można było uwzględnić też zbiory nieskończone. Do określania mocy zbiorów służą liczby kardynalne - tak jak do określania liczby elementów w zbiorach skończonych służą liczby naturalne. Mówi się, że zbiór liczb naturalnych ma moc równą alef-zero (wygląda to mniej-więcej tak: c_0, hebrajska litera 'alef' jest nieco podobna do greckiego 'chi'), a zbiór liczb rzeczywistych - ma moc równą kontinuum, czyli c (to też powinna być hebrajska litera, tylko nie mam tu w symbolach...). I piszą, że

c > c₀

A czy jest taka liczba kardynalna, co jest większa od alef-zero, a mniejsza od kontinuum? Inaczej - czy może być taki zbiór, który ma więcej elementów, niż zbiór liczb naturalnych, a mniej, niż rzeczywistych? Georg Cantor uznał, że nie - i przeszło to stwierdzenie do historii matematyki jako 'hipoteza continuum'.

Długo matematycy biedzili się nad problememe - czy hipoteza continuum jest prawdziwa, czy nie jest. Wielu przyniosło to nawet załamanie nerwowe oraz depresje - w tej liczbie także samemu Cantorowi, który ową puszkę Pandory otworzył... Problem rozwiązał dopiero matematyk amerykański, J.P. Cohen w roku 1963, a jego rozwiązanie było iście salomonowe - okazało się otóż, że ani hipoteza continuum, ani jej zaprzeczenie nijak się mają do tego, co do tej pory było wiadomo o zbiorach. Można więc przyjąć, że jest prawdziwa, nie otrzymując przy tym sprzeczności. Lub, równie dobrze - że jest fałszywa.

Większość Czytelników pamięta zapewne ze szkoły coś-niecoś z nauki o zbiorach. Szukanie sumy zbiorów, części wspólnych itp. Na ogół pewnie nikogo te zagadnienia nie porywały, gdyż są w szkołach przedstawione nadzwyczaj nuuudno. A tymczasem teoria mnogości - to fascynująca nauka. Oprócz problemu wielu nieskończoności, który, jak powiedziałem, nie może być jednoznacznie rozwiązany - istnieją jeszcze inne fascynujące zagadnienia. Rozmnożenie kuli czyli problem istnienia zbioru wszystkich zbiorów - to tylko niektóre z tych spraw, o których będę chciał jeszcze opowiedzieć...

Wyobraźmy sobie dwa punkty: F₁ i F₂.

Jeśli zaznaczymy wszystkie punkty P, dla których suma odległości od F₁ i od F₂ jest stałą - to otrzymamy elipsę. O tym każdy wie, i każdy choć raz w życiu elipsę widział. Nie ma o czym mówić...

A jeśli zaznaczymy wszystkie punkty R, dla których iloczyn odległości od F₁ i od F₂ będzie stały - to co otrzymamy? Ano właśnie, wtedy otrzymamy owal Cassiniego.

Owal ten jest ciekawszy od elipsy. Wygląda on... no właśnie: to, jak wygląda - zależy od tego iloczynu. Jeśli jest wystarczająco duży - to nasz owal całkiem przypomina elipsę:

Nota bene - ów Cassini, który dał nam ten owal - początkowo podejrzewał, że to właśnie po takich krzywych poruszają się palnety wokół słońca. Na szczęście - się mylił... To znaczy - na szczęście, jak na szczęście - bo na pewno zyło by się ciekawiej w takim Układzie Słonecznym, w którym planety krążą po owalach Cassiniego. Z drugiej jednak strony - elipsa czy okrąg to krzywe drugiego stopnia, a owal Cassiniego - aż czwartego. Astronomowie, geodeci i wszyscy, którym leży na sercu ruch planet - mieliby ciężkie życie w Układzie Słonecznym Cassiniego. Roziwązanie równania czwartego stopnia - to nie igraszka...

Jeśli zejdziemy trochę z ta wartością iloczynu w dół, naszemu owalowi (to znaczy - nie naszemu, tylko Cassiniego) zaczyna się robić... talia. Żyć na takiej orbicie - to by było dopiero! A jaki bajzel w porach roku by się pojawił... Hmm...

Schodzimy dalej z iloczynem - i pojawia nam się punkt, w którym krzywa przecina sam siebie. Tak, w przypadku krzywych stopnia wyższego niż dwa - zdarzaja się i takie cuda.

Na marginesie - taka figura nazywa się też lemniskatą Bernoulliego.

A tu już jest całkiem mała wartość iloczynu - owal rozpadł się nam na dwa małe owaliki ;-) Jeśli iloczyn spadnie do zera, to te owaliki skurczą się do dwóch punktów.

...a zatem stało się - ten blog istnieje...

Istnienie czegoś lub nieistnienie - to dość ważne sprawa w matematyce, i nie tylko w niej. Jeszcze pół biedy, jak coś mozna zobaczyć, znaleźć i stwierdzić, że faktycznie istnieje... Ale jeśli nie można, bo trzeba by np. długo szukać?

Stąd różnorakie pomysły na dowody istnienia bez wskazywania tego, co ma istnieć. Jedną z najpopularniejszych metod jest tu niewątpliwie zasada szufladkowa Dirichleta.

Można ją zapisać przy pomocy mrowia symboli, jednak nie o to tutaj chodzi. Sprawa jest w gruncie rzeczy naprawdę prosta: mamy, dajmy na to, jednasćie ołówków i chcemy je porozmieszczać w pięciu szufladach. No to choćby nie wiadomo co - będzie taka jedna szuflada, w której znajdą się co najmniej trzy ołówki. Która to szuflada - tego nie wiadomo; pewnie nawet ten, kto ma się zabrać za chowanie ołówków tego jeszcze nie wie, ale pewne jest jedno - taką szufladę będzie można znaleźć. Niby oczywiste - a jednak całkiem głębokie filozficznie.

Możemy tą metodą np. udowodnić, ze istnieją w Warszawie dwie osoby, które mają dokładnie taką samą ilość włosów. Jak? Ano - nikt chyba nie ma na głowie więcej włosów, niż 500 tysięcy. no, załóżmy dla pewności,niech to będzie 600 tysięcy. A mieszkańców Warszawy jest więcej. No, to dalej już wszystko jasne. Takie dwie osoby istnieją - choć wskazać je raczej nie sposób...

Sam Dirichlet udowodnił tę własność dla mieszkańców osiemnastowiecznego Paryża. Tłumaczył to potem pewnej swojej znajomej, która za diabła nie mogła tego zrozumieć i nie chciała uwierzyć, że takie dwie osoby na pewno istnieją. Autor niniejszego postu nie wie, ile owa dama miała włosów na głowie, ale domyśla się, jakiego były koloru ;-)

No i dobrze. Ale zasada Dirichleta ma też wersję miarową. O mierze pewnie sporo będziemy tu jeszcze mówić, ale na razie - niechże się ona drogiemu Czytelnikowi kojarzy z powierzchnią. W takim sformułowaniu nasza (no, nie nasza, tylko Dirichleta) zasada brzmi tak: Jeśli mamy kilka podzbiorów jakiegoś zbioru i ich suma miar jest większa od miary całego zbioru - to istnieje w tym zbiorze punkt, który należy do co najmniej dwóch podzbiorów.

Jak to będzie wyglądało? No na przykład tak: wyobraźmy sobie koło o promieniu, dajmy na to, 8cm. Zaznaczamy w nim 14 punktów, zupełnie dowolnie. To istnieją takie dwa punkty, że odległość między nimi jest mniejsza niż 6cm. Dlaczego? Narysujmy pięć kółek, każde o promieniu 3cm, o środkach w naszych punktach. Kółka te mogą "wystawać" poza duże koło najwyżej o swój promień, czyli o trzy centymetry. Wszystkie zatem mieszczą się w kole o promieniu 11cm, które ma powierzchnię121πcm², a każde z małych kółek ma powierzchnię 9πcm², więc razem mają 126πcm². Czyli więcej, więc któreś dwa muszą na siebie nachodzić. To środki tych kółek leżą w mniejszej odległości, niż dwa promienie, czyli 6cm.

A jak się ktoś uprze, może wziąć kartkę, cyrkiel, narysować sobie parę kół o promieniu 8cm, a potem je dziubać ołówkiem, żeby sprawdzić, że zawsze taka para się pojawi. Można... ale matematyka pozwala nam zaoszczędzić mnóóóstwa pracy...

I tak oto dojrzał w końcu, powzięty przez mnie pomysł pisania bloga o matematyce.

Dosyć to śmiałe przedsięwzięcie - jednak mam nadzieję, że jakoś sobie dam radę i jakoś to będzie.

O czym zatem chcę pisać? To znaczy - już powiedziałem: o matematyce - ale tak konkretnie - to o czym? Otóż nie jest moim celem stworzenie internetowego regularnego kursu matematyki, ściągi dla maturzystów, pomocy dla studentów, miejsca publikacji swoich bądź czyichkolwiek prac. Chcę pisać o matematyce trochę jako dziedzinie sztuki, a trochę jako o pewnej 'wiedzy tajemnej', która pozwala dojść do zaskakujących wniosków na rózne tematy oraz inaczej patrzeć na świat. Ten blog jest adresowany zarówno do matematycznych maniaków jak również dla zatwardziałych 'umanistów', którzy do tej pory 'niecierpieli matematyki'. Tym pierwszym będę wdzięczny za sugestie dotyczące wyboru tematów oraz wszelkie dyskusje, także te dotyczące nieścisłości czy nieprawidłowości, wkradjaćych się pewnie czasem - to nieuniknione - na blog, a tych drugich postaram się przekonać, że matematyka jest piękna i porywająca.

A zatem - bez nadmiernego wodolejstwa - w drogę ;-)